La formula per i numeri primi più potente che mai

I numeri primi, quei numeri maggiori di 1, divisibili solo per se stessi e per 1, rappresentano da sempre un enigma intrigante. Un problema, tuttora aperto, riguarda la capacità di trovare un modo per poter ottenere, con una sola formula, la maggiore quantità possibile di questi numeri, che sono infiniti, come tutti i numeri. Individuare un’espressione del genere non è affatto semplice e gli scienziati dibattono da secoli sul tema (per la precisione da 2.300 anni). E procedono per tentativi e errori (e vari avanzamenti), anche se ancora non sono riusciti a trovare una soluzione definitiva. Oggi, il matematico canadese Simon Plouffe compie un altro passo in avanti. Lo scienziato, infatti, ha individuato un metodo che riesce a produrre ben 50 numeri primi, la sequenza più lunga mai ottenuta, a livello pratica, con una singola formula. I risultati sono disponibili su arXiv.

Una formula in uso

La più antica dimostrazione che i numeri primi sono infiniti si deve a Euclide intorno al 300 a.C. Fino ad oggi, la formula che riesce meglio a produrre la più lunga sequenza, ben 39, è rappresentata dal seguente polinomio: n² + n + 41. Se si prova a inserire, al posto della lettera n, un qualsiasi numero da 0 a 39, si ottiene come risultato un numero primo. Tuttavia, se si sceglie un numero superiore a 39, ad esempio 40, il risultato non è più un numero primo, ma un numero composto (precisamente 1681,  il quadrato di 41).

Per trovare numeri primi più grandi, ci sono anche altre formule, o meglio successioni matematiche: particolari funzioni rappresentate da sequenze ordinate di numeri. Tuttavia, queste successioni, frutto di studi complessi, riescono a produrre pochi numeri primi (meno di 50). Questo accade perché i numeri generati sono grandissimi (hanno migliaia e migliaia di cifre) e superano i limiti e la potenza di calcolo dei computer. In generale, queste formule si basano sulla capacità di scegliere opportunamente l’operazione e il numero iniziale da inserire nella successione, che consenta di ottenere il maggior numero di numeri primi. Una scelta molto complicata: eccone un esempio.

La formula per i numeri primi di Wright

Nel suo articolo, Simon Plouffe è partito da una di queste successioni, proposta nel 1951 dal matematico inglese Edward M. Wright. In questa formula, bisogna elevare 2 al numero decimale 1,92878 (2^1,92878). Il numero 1,92878 non è casuale, ma è scelto dall’autore come esponente più appropriato per generare successivamente la massima quantità di numeri primi. Da questa prima operazione si ottiene il numero 3,807. Del numero 3,807, stando alle indicazioni di Wright, si devono considerare soltanto le cifre intere e si devono escludere tutte le cifre decimali dopo la virgola. Pertanto si ottiene il numero 3, il primo numero primo dopo il 2.

Dopo questo primo passo, il procedimento va avanti, stavolta elevando il numero 2 al nuovo numero ottenuto 3,807 (2^3,807=13,999). In questo modo, escludendo di nuovo le cifre dopo la virgola, si ottiene il numero 13, che di nuovo è un numero primo. Il procedimento si ripete ulteriormente, elevando il 2 al numero 13,999 e si ottiene 16.381, che è ancora un numero primo. Così, questa formula permette di generare alcuni numeri primi. Tuttavia, i numeri di Wright sono sparsi e crescono troppo rapidamente (basti pensare che il numero successivo a 16.381 è un numero con 4.932 cifre).

La formula più efficiente per i numeri primi

Plouffe è partito da queste formule, cercando di elaborarne una nuova, una successione che potesse produrre una maggiore quantità di numeri primi e in cui i valori non fossero così lontani uno dall’altro come nell’espressione di Wright. Il suo obiettivo, in pratica, era quello di far sì che la successione di numeri non crescesse troppo rapidamente e che i numeri siano più piccoli (con meno cifre) Questo risultato può consentire di produrre una maggiore quantità di numeri di primi, dato che il minor numero di cifre permette al computer di generarne di più. Il metodo, però, è simile a quello usato da Wright, dato che è una successione in cui i numeri sono elevati a potenza. La formula di Plouffe è la seguente:  A_n+1= (a_n)^5/4.

Il numero iniziale è numero 43,8046877158, che deve essere elevato al numero 1,25 (43,8046877158^1,25=112,69). Questa cifra, 112,69, deve essere approssimata, spiega l’autore, e così si ottiene 113, un numero primo. L’operazione si ripete elevando il numero di prima, 112,69 al numero 1,25 ( 112,69^1,25). E si ricava un numero che, approssimato, è pari a 367, un altro numero primo. E così via, si producono numeri che non sono così distanti uno dall’altro, per grandezza, come nella precedente formula di Wright. Traducendo quanto spiegato in simboli, la formula di Plouffe è la seguente:  A_n+1= (a_n)^5/4 dove il numero iniziale (a₀) è appunto 43,804677158.

Con questa espressione Plouffe riesce a generare ben 50 numeri primi, dove il 50° numero primo ha solo 807 cifre. La quantità prodotta supera quella di ogni altro algoritmo esistente, si legge nello studio, e dei soli 39 dell’attuale polinomio in uso, n² + n + 41, che si ferma a 39 perché quelli successivi sono troppo lunghi per essere calcolati. E così ottiene la sequenza più lunga di sempre.

Riferimenti: arXiv