La matematica ci sorprende ancora con un problema che riguarda la nostra comprensione dell’infinito. In una lotteria idealmente infinita esiste un biglietto – una sequenza di numeri – che vince sempre? Questa domanda è alla base di un problema matematico a cui gli scienziati non trovavano risposta da circa 50 anni, quando è stato formulato nel 1969 dall’inglese Adrian RD Mathias. Oggi due scienziati dell’università di Vienna e di Copenhagen hanno fornito una risposta, risolvendo l’annoso problema. I risultati sono pubblicati su Proceedings of the National Academy of Sciences.
La lotteria classica
In una lotteria tradizionale, come quelle che conosciamo, ad esempio il gioco del lotto, il biglietto contiene i numeri da noi giocati che devono essere uguali – tutti o alcuni – a quelli estratti. Idealmente, dato che le combinazioni con cui si può vincere sono varie, se il nostro biglietto fosse lunghissimo, cioè se avessimo giocato una quantità di numeri elevatissima, avremmo praticamente la certezza di avere successo – un costo però troppo alto per il nostro portafoglio.
L’infinito matematico in una lotteria infinita
Ma le cose cambierebbero se la lotteria, ovvero l’estrazione dei numeri sulle varie ruote, fosse infinita. In questo caso i numeri estratti sarebbero infiniti. Anche i biglietti potrebbero contenere infinite strisce (sequenze di numeri) ciascuna a sua volta con una quantità infinita di numeri. In questo caso esisterebbe ancora un biglietto, ovvero una sequenza di numeri, che vince sempre? La risposta non è così banale, dato che gli scienziati si sono interrogati sulla questione per 50 anni.
La risposta è no
“Sono rimasto affascinato perché si tratta di un problema antico che ha a che fare con la nostra comprensione del concetto di infinito”, ha spiegato Asger Dag Törnquist, ricercatore del dipartimento di matematica dell’università di Copenhagen. In effetti la domanda è: all’interno di una sequenza infinita di numeri esiste una sequenza altrettanto infinita da riuscire a riprodurli? Dopo cinque anni di lavoro, i due ricercatori Asger Dag Törnquist e David Schrittesser, rispondono al matematico Adrian Mathias, autore del problema, spiegando che una completa coincidenza fra queste due sequenze non esiste.
Non c’è la certezza di vincere, provano i due autori, una risposta che coincide con quella dell’autore Mathias, che però, specificano i ricercatori, non l’aveva dimostrata in pratica. “Non si può ottenere un biglietto della lotteria senza che emergano determinate strutture e ripetizioni nei numeri del biglietto”, sottolinea Törnquist, “per questo non c’è una lotteria che vince sempre il gioco di Mathias”.
Come si arriva a questo risultato
Al momento della formulazione del problema, l’inventore Mathias aveva cercato, in una sequenza infinita di numeri, la presenza di un ordine e una struttura. Oggi gli autori riprendono lo stesso metodo e hanno trovato una risposta al problema matematico della lotteria infinita nella teoria di Ramsey. Questa teoria, che prende il nome dal matematico inglese Frank Plumpton Ramsey pone, in una forma semplificata, il seguente quesito: se ho un numero ‘n’ di piccioni da sistemare in un numero diverso ‘m’ di piccionaie, qual è il numero minimo di piccioni che devo avere affinché in ciascuna piccionaia ce ne siano almeno due? La risposta è che ‘n’ deve essere maggiore di ‘m’. La teoria di Ramsey, in pratica, generalizza questo principio.
Il problema posto da questa teoria è simile a quello che i matematici tentano di risolvere oggi, per capire se esiste un biglietto sempre vincente in una lotteria idealmente infinita. L’idea è la stessa: esiste una sequenza di numeri che rientra sempre in un’altra sequenza di numeri, dove entrambe sono infinite? Basandosi sulla teoria di Ramsey e attraverso complessi calcoli matematici, gli autori hanno dimostrato che non esiste un biglietto sempre vincente.
Via: Wired.it
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Non troveremo mai una lotteria in cui sono considerati tutti i numeri che è possibile generare, significa aver trovato i numeri che soddisfano congetture che resistono da migliaia di anni. La congettura dei gemelli e le due versioni della congettura di Goldbach affermano e, se soddisfatte dimostrano, che tutti gli infiniti numeri pari e tutti gli infiniti numeri dispari, che come dimostrato dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica sono uguali al risultato del prodotto di fattori, sono anche il risultato della somma di solo due o tre numeri primi noti e non ancora noti. Sono questi ultimi, i primi che non conosciamo, che non ci permettono di soddisfare le congetture con il risultato della combinatoria di due e tre degli infiniti numeri primi perché non potremo mai generare tutte le possibili combinazioni che si possono ottenere con numeri primi che, essendo infiniti, non si potrà sapere mai: nè quantità, nè valore. Non conoscendoli tutti non potremo mai affermare: né che sia possibile verificare né che sia stato verificato che tutti gli infiniti pari sono la somma di due primi o che tutti gli infiniti dispari sono la somma di tre primi. Tra le tre congetture ci sono circa 2000 anni di differenza ma Euclide, Goldbach, Eulero e tutti i matematici che l’hanno cercata, hanno cercato la soluzione ma a parte i risultati di verifica di quantità di numeri pari e dispari sempre migliorabili e migliorabili, non esiste e non sarà mai possibile confermare di aver verificato che tutti i numeri pari sono la somma della combinatoria di due tra gli infiniti numeri primi o la conferma di aver verificato che tutti i numeri dispari sono la somma della combinatoria di tre tra gli infiniti numeri primi.