Come impilare corpi sferici, come mele, arance e altri frutti, in modo da risparmiare il maggior spazio possibile? Nel 1611 il noto astronomo Giovanni Keplero, lo scopritore delle omonime leggi che regolano il moto dei pianeti, si pose anche questo problema, molto più terreno rispetto a quello delle orbite planetarie. Lo scienziato formulò un’ipotesi, chiamata appunto “congettura di Keplero“, in base alla quale la disposizione migliore era fornita da un impacchettamento cubico a facce centrate, di cui la struttura a forma di piramide fornisce un esempio, oppure di un impacchettamento esagonale. Ed oggi arriva la prova matematica che questa congettura, a lungo studiata dalla scienza, è esatta. Lo studio, condotto dall’Università di Pittsburg negli Stati Uniti, è stato pubblicato su Forum Mathematics, Pi, un giornale open access pubblicato dalla Cambridge University Press. Per arrivare a questa conclusione, gli scienziati hanno utilizzato metodi di programmazione informatica e formule complesse.
Ma negli oltre 400 anni intercorsi fra la congettura, formulata nel 1611, e la dimostrazione, arrivata oggi, i fruttivendoli non si sono fatti trovare impreparati e, in maniera più o meno consapevole, hanno sempre seguito alla lettera l’indicazione di Keplero: il primo strato di arance solitamente viene disposto in un reticolo cubico in cui gli spazi fra un frutto e l’altro sono minimizzati. Questa operazione viene ripetuta per il secondo strato di arance, che però viene disposto in maniera scontrata rispetto al primo: il frutto viene posizionato al centro dello spazio vuoto delle arance del ripiano inferiore. E lo stesso avviene per i livelli successivi, seguendo un andamento quasi piramidale. Una disposizione nello spazio di questo tipo impedisce alla frutta di cadere e riduce gli spazi vuoti: così il fruttivendolo ha bisogno di un numero minore di cassette per esporre la frutta. A livello matematico, la densità di impacchettamento delle sfere, nel caso specifico le arance, è la massima ottenibile ed è pari al 74%. In parole povere, i frutti sono molto fitti fra loro.
Ma dal 1611 nessuno ha provato a dimostrare questa congettura? Al contrario, vi sono stati alcuni tentativi. Una prima prova, anche se troppo complessa e lunga, era arrivata nel 1998 da parte di Thomas Hales, matematico dell’Università di Pittsburg, insieme a Samuel Ferguson. Hales è anche autore della dimostrazione odierna. Ed oggi la prova è definitiva: più breve ed elegante, e quindi più facile da verificare per altri matematici.
Oltre ad interessare scienziati e appassionati, la congettura di Keplero può trovare delle applicazioni utili in vari campi della scienza. A beneficiarne, ad esempio, è la cristallografia, una scienza che studia i cristalli e in particolare le tecniche per disporre gli atomi, i costituenti fondamentali della materia, in tali solidi.Ovviamente in questo caso non avremo a che fare con le arance, ma con degli atomi.
